笔者是今年9月份开始的大学生活，也是从9月份开始线性代数的学习。在线代中，有许多新鲜的定义和运算，所以与高等数学相比，笔者觉得线代更难学得通透。因此，笔者希望通过该篇以及后续文章来梳理下线代中的知识。
笔者所用的线代教材是 Gilbert Strang 所编写的 Linear Algebra and its Application (the 4th edition) ，在B站上也有他的相关教学视频 MIT《线性代数》吉尔伯特.斯特朗
好，接下来我们开始线代的学习。初入线代，不同于同济紫本从行列式开始（刚看同济书的时候头都大了），我们先从矩阵与高斯消元法讲起。
线代的中心问题就是如何求解线性方程组，因此我们有必要了解什么是线性方程和线性方程组，以及其中的专有名词。
线性方程（linear equation）：
正如其名，线性方程（linear equation）就是形如 \[ a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b \] 的方程。其中，\(a_i\) 是系数（coefficient），\(x_i\) 是变量（variable，或称未知数unknown），\(b\) 是常数（constant）。
由此，我们可以有线性方程组（system of linear equations），即多个线性方程方程所构成的方程组，其解取决于系数与常数项！于是，为了简便美化写法，我们便引入了矩阵来表示线性方程组。
矩阵记号（matrix notation）：
系数矩阵（coefficient matrix）： $$
$$
增广矩阵（augmented matrix）： $$
$$
高斯消元法（Guassian elimination）：
是通过初等行变换（Elementary row operation, ERO）来将矩阵转化为上三角矩阵（upper triangular matrix）或行阶梯形矩阵（row echelon form matrix），进而通过回代求解线性方程组的方法。
- 对换（interchange）：交换任意两行；
- 倍乘（scaling）：用非零实数乘以某行；
- 倍加（replacement）：将某个方程的倍数加到另一个方程上。
经过ERO处理前后的矩阵行等价（row equivalent），故ERO可逆。
回代（back-substitution）：
矩阵化为上三角阵或行阶梯形后，从最后一个未知数开始由尾至头逐步代回，得出解的过程。
解的情况
- 相容（consistent）：方程组有解：
- 唯一解；
- 无穷多解。
- 不相容（inconsistent）：方程组无解。
- 相容（consistent）：方程组有解：
总结：
高斯消元法实际上是个很简单的过程：
原线性方程组 -> 高斯消元（行变换）-> 三角矩阵 -> 回代 -> 得出解
