这篇文章主要讲的是笔者上上周刚学的两个复数域下的矩阵：厄米特矩阵和酉矩阵。
想必大家高中都已经学过了复数，再补充一个极坐标形式的复数后，我们就直接进入正题吧！
极坐标形式（polar form）：
\[ z=re^{i\theta}=r(cos\theta+isin\theta) \]
其满足 \(z_1·z_2=r_1r_2e^{i(\alpha+\theta)}\) , \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\alpha-\theta)}\). 这都是一些非常好的性质。
厄米特矩阵（Hermitian matrix）：
即自共轭矩阵，共轭转置等于自身。矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。厄米特特矩阵主对角线上的元素都是实数的，其特征值也是实数。（可类比为实对称矩阵）
共轭转置（conjugate transpose）操作，可类比为实矩阵的转置操作（对实矩阵来说，转置和厄米共轭操作是相同的），同样有如下性质：
\((AB)^H=B^HA^H\) ；\((A^H)^H=A\) ；\((A+B)^H=A^H+B^H\)
厄米特矩阵的性质：
① \(A^H=A\) ：这条性质要求厄米特矩阵的主对角元必须为实数；
② 对厄米特矩阵 \(A\) 和复向量 \(x\)，数 \(x^HAx\) 必为实数;
证：
\[ (x^HAx)^H=x^HA(x^H)^H=X^HAx \]
即 \(x^HAx\) 等于它自身的共轭，故 \(x^HAx\) 必是实数.
③ 厄米特矩阵的特征值是实数；
证：法一：设 \(Ax=\lambda x (x\neq 0)\)，则有
\[ x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx=\lambda\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2 \]
由性质①可知 \(x^HAx\) 必为实数，并且由于 \(x\neq 0\)，\(\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2\) 必为正实数，所以，特征值 \(\lambda=\frac{x^Hx}{\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2}\) 必为实数.
法二：设\(Ax=\lambda x (x\neq 0)\)，\(\overline \lambda x^Hx=(\lambda x)^Hx=(Ax)^Hx=x^HA^Hx=x^HAx=x^H\lambda x=\lambda x^Hx\) ，所以，我们有 \(\overline \lambda\)，故 \(\lambda\) 必为实数.
④ 厄米特矩阵 \(A\) 的属于不同特征值的特征向量是正交的（实对称矩阵也同样满足）；
证：设 \(x_1, x_2\) 是分别对应于特征值 \(\lambda_1 , \lambda_2\) 的 \(A\) 的特征向量，则
\[ Ax_1=\lambda_1 x_1 , Ax_2=\lambda_2 x_2 \]
因此，
\[ \lambda_1 x_1^Hx_2=(\lambda_1 x_1)^Hx_2=(Ax_1)^Hx_2=x_1^HA^Hx_2=x_1^HAx_2=x_1^H\lambda_2 x_2=\lambda_2 x_1^Hx_2 \]
又因为 \(\lambda_1=\lambda_2\)，所以我们有 \(x_1^Hx_2=0\)，它们是正交的.
酉矩阵（幺正矩阵，unitary matrix）：
可类比于实正交矩阵，满足厄米共轭矩阵等于逆阵，即 \(U^H=U^{-1}\)，等价有 \(U^HU=I , UU^H=I\)
酉矩阵的性质：
① 内积和向量长度可被酉矩阵保留？（这段话不知如何翻译，意思可看证明过程）；
证：\((Ux)^H(Uy)=x^HU^HUy=x^Hy\) 故同理有 \(\begin{Vmatrix}U\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2\)
② 酉矩阵的特征值的绝对值等于 \(1\)；
证：设 \(Ux=\lambda x\)，则 \(\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}\lambda x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix} \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}\) 由性质①我们有，\(\begin{Vmatrix}Ux\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}^2\)，所以\(\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}·\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}\)，故\(\begin{vmatrix}\lambda\end{vmatrix}=1\)
③ 酉矩阵 \(U\) 的属于不同特征值的特征向量是正交的。
证：
后面有空再补了
