对于一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\) 的行列式，我们有
1、当 \(n=1\) 时，\(\det{(A)}=a_{11}\)
2、当 \(n\ge 2\) 时，令 \(M_{ij} (1\le i, j \ge n)\) 为删除掉矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行和第 \(j\) 列的一个 \((n-1)\times(n-1)\) 矩阵。若按 \(\det{(A)}\) 的第一行展开，则有：
\[ \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} =\det{(A)}=a_{11}\begin{vmatrix} M_{11} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} M_{12} \end{vmatrix}+\dots+(-1)^{n+1}a_{1n}\begin{vmatrix} M_{1n} \end{vmatrix} \\ =\sum_{j=1}^n (-1)^{j+1} a_{1j} \det{(M_{1j})} \]
当然，我们也可不必沿着第一行展开，此时我们只需将公式中的 “1” 换成其他数字就好，而且由于行列式与转置行列式相等，按列展开也是同理进行。
特殊地，若 \(n\times n\) 矩阵 \(A\) 是三角阵（上、下三角）或对角阵，则其行列式的值为
\[ \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\dots a_{nn} \]
即对角元之积。若为反三角阵或反对角阵，则其行列式的值为
\[ \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}b_1b_2\dots b_n \]
其中 \(b_i (i=1\dots n)\) 是该阵的反对角元。
后面有空再补
