所谓常微分方程，指的是方程中包括函数 \(y(x)\) 以及导数 \(y'(x)\)，并且只包含一个变量 \(x\)。如果只包含一阶导，则称为一阶常微分方程。
线性
这是最基础的一类微分方程，方程 \(F(x,y',...,y^{(n)})\) 对于 \(y\) 和其各阶导数而言是线性的。这类方程中，\(x, y\) 每一项的次数是相等的。
齐次
齐次方程指的是可化为 \(\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\) 形式的一阶微分方程。
系数为常数
这是最简单的一类常微分方程：\(\frac{dy}{dx}+\alpha y(x)=0\)
我们只需要将常数分离再两边积分即可，求解过程如下：
\[ \begin{align*} &\frac{dy}{y}=-\alpha dx \\ \implies&\int\frac{1}{y}dy=-\int\alpha dx \\ \implies&\ln y+C'=-\alpha x \\ \implies&y(x)=e^{-C'}e^{-\alpha x}=Ce^{-\alpha x} \end{align*} \]
系数为函数
接下来升级一下，把常数替换为函数：\(\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=0\)
同样也是先将与函数 \(y\) 有关的部分与其他部分分离，求解过程如下：
\[ \begin{align*} &\frac{dy}{y}=-pdx \\ \implies&\int\frac{1}{y}dy=-\int p dx \\ \implies&\ln y+C'=-\int p dx \\ \implies&y(x)=e^{-C'}e^{-\int p(x)dx}=Ce^{-\int p(x)dx} \end{align*} \]
对于可分离变量的微分方程： \[ ydy=f(x)dx \] 通常为分离变量后取积分。 对于齐次微分方程： \[ \frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}) \] 令 \(u=\frac{y}{x}\)，则 \(y=ux,\frac{dy}{dx}=x\frac{du}{dx}+u\)，回代后可得： \[ x\frac{du}{dx}+u=f(u) \implies \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x} \] 即可使用可分离变量的微分方程的方法求解。
非齐次
接下来再进一步泛化：\(\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x)\)
常数变易法
由拉格朗日提出。与前一类类似操作得到
\[ \begin{align*} &\frac{dy}{dx}+p(x)y(x)=q(x) \\ \implies &\frac{dy}{y}=-p(x)dx+\frac{q(x)}{y}dx \\ \implies &y=e^{-\int p(x)dx}e^{\int\frac{q(x)}{y}dx} \end{align*} \] 设未知的项 \(e^{\int\frac{q(x)}{y}dx}=C(x)\)，则有 \(y=C(x)e^{-\int p(x)dx}\)，从而得到 \[ \begin{align*} &y'=C'(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x)C(x)e^{-\int p(x)dx}=C'(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x)y \\ \implies &y'+p(x)y=C'(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x) \\ \implies &C(x)=C+\int q(x) e^{\int p(x)dx} dx \end{align*} \]
因此最终方程的通解为 \(y=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C)\)
积分因子法
由欧拉和克莱罗分别独立提出。主要思想是利用乘法求导的逆推：\(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=(f(x)g(x))'\).
观察微分方程，如果两边同乘上 \(H(x)\)，则有
\[ y'H(x)+p(x)H(x)y=q(x)H(x) \]
倘若我们假设 \(H'(x)=p(x)H(x)\)，则方程可进一步化为
\[ (yH(x))'=q(x)H(x) \]
两边积分可得到
\[ yH(x)=\int q(x)H(x)dx + C \]
因此方程的解即为 \(y=H^{-1}(x)(\int q(x)H(x)dx + C)\).
而根据 \(H(x)\) 的建立假设，有
\[ \begin{align*} H'(x)=p(x)H(x) \implies \frac{H'(x)}{H(x)}=p(x) \implies H(x)=e^{\int p(x)dx} \end{align*} \]
因此最终方程的通解为 \(y=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)\).
线性方程的解有如下的性质：
一阶齐次线性微分方程的解要么恒为 \(0\)，要么恒不为 \(0\)（解为指数形式）；
线性方程的解的存在区间是整个区间；
线性方程的初值问题的解存在且唯一；
线性方程的解的叠加还是线性方程的解。
伯努利方程
对于方程：\(y'(x)+p(x)y(x)=q(x)y^n(x)\ (n>1)\)，用 \(y^n\) 除以两侧，有
\[ y'(x)y^{-n}(x)+p(x)y^{1-n}(x)=q(x) \]
令 \(z=y^{1-n}\)，有 \(z'=(1-n)y^{-n}y'\)。所以我们有
\[ z'(x)+(1-n)p(x)z(x)=(1-n)q(x) \]
此后可用线性非齐次方法求解。
高阶微分方程
高阶微分方程是指二阶及二阶以上的微分方程。
可降阶的高阶微分方程
\(y^{(n)}=f(x)\) 型
连续积分 \(n\) 次，可得通解： \[ y=\int[\int\dots\int[\int [f(x)dx+C_1] dx+C_2]dx\dots dx+C_n]dx \]
\(y''=f(x,y')\) 型
令 \(y'=p(x)\)，则 \(y''=p'(x)\)，于是原方程可化为关于 \(p, x\) 的一阶微分方程：
\[ p'=f(x,p) \]
在求解完 \(p\) 后，回代求解 \(y\) 即可（也是一个一阶微分方程）。
\(y''=f(y,y')\) 型
令 \(y'=p(y)\)，则 \(y''=p'(y)p(y)\)，于是原方程可化为关于 \(p, y\) 的一阶微分方程：
\[ p\frac{dp}{dy}=f(y,p) \]
同样在求解完 \(p\) 后，回代求解 \(y\) 即可（也是一个一阶微分方程）。
可降阶的高阶微分方程缺少了部分元素：
\(y^{(n)}=f(x)\) 型缺少了 \(y,y',\dots,y^{(n-1)}\);
\(y''=f(x,y')\) 型缺少了 \(y\);
\(y''=f(y,y')\) 型缺少了 \(x\).
常系数齐次线性微分方程
形如
\[ y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+...+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0 \]
且 \(a_n(x)\) 均为常数。通常使用特征方程法求解。
对于上面的微分方程，其对应的特征方程为
\[ r^n+a_1(x)r^{n-1}+...+a_{n-1}(x)r+a_n(x)=0 \]
求解出 \(n\) 个根 \(r_n\) 后，根据根的情形，可获得通解：
| 特征方程的根 | 通解中的对应项 |
|---|---|
| 单实根 \(r\) | 给出一项：\(Ce^{rx}\) |
| 一对单复根 \(r_{1,2}=\alpha+i\beta\) | 给出两项：\(e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta}x+C_2\sin{\beta}x)\) |
| \(k\) 重实根 \(r\) | 给出 \(k\) 项：\(e^{rx}(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_kx^{k-1})\) |
| 一对 \(k\) 重复根 \(r_{1,2}=\alpha+i\beta\) | 给出两项：\(e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_kx^{k-1})\cos{\beta x}+(D_1+D_2x+D_3x^2+...+D_kx^{k-1})\sin{\beta x}]\) |
注意，若有 \(n\) 个根 \(r_n\)，则通解中必有 \(n\) 个项。
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程
形如
\[ x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny=0 \]
且 \(a_n\) 均为常数。
令 \(x=e^t,t=\ln x\)，把 \(y\) 看作是关于 \(t\) 的函数，有
\[ \begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt} \\ \frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{1}{x^2}(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}) \\ \frac{d^3y}{dx^3}&=\frac{1}{x^3}(\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dt}) \\ \dots \end{align*} \] 从而有 \[ \begin{align*} xy'&=\frac{dy}{dt} \\ x^2y''&=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}-1)y \\ x^3y'''&=\frac{d^3y}{dt^3}-3\frac{d^2y}{dx^2}+2\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}-1)(\frac{d}{dt}-2)y \\ \dots \\ x^ky^{(k)}&=\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}-1)\cdots(\frac{d}{dt}-k+1)y \\ \dots \end{align*} \] 将其回代入欧拉方程，就能获得一个以 \(t\) 为自变量的常系数线性微分方程。
常系数线性微分方程组
\[ \left\{\begin{array}{l} \frac{dx}{dt}=f(x,y) \\ \frac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right. \]
求解步骤如下： 1. 消元：得到只含有一个变量 \(t\) 的高阶常系数线性微分方程； 2. 求解：求解此微分方程，得到 \(x\) 或者 \(y\) 的通解，再代入原方程组得到另一个变量的通解。
Reference
[2] 常微分方程求解
