量子计算：量子电路

#量子计算 2024-10-05

Quantum Circuits

量子电路即对 qubit 操作的图形表示，时间顺序为从左至右。有两种 qubit 操作：量子逻辑门（quantum logic gate）、测量（measurement）。

Quantum Logic Gates

所有的量子逻辑门都是酉算子（unitary operator）

Example：

将 Pauli X matrix 作用于基底，可以得到相反的基底，所以 Pauli X matrix 也被称作 NOT 门

$$ \[\begin{align*} X\ket{0}=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]=\ket{1} \\ X\ket{1}=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\ket{0} \end{align*}\] $$

将 Hadamard gate 作用于基底，可以获得基底的叠加态

\[ \begin{align*} H\ket{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right]=\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}} \\ H\ket{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right]=\frac{\ket{0}-\ket{1}}{\sqrt{2}} \end{align*} \]

另外还有常用的 Controlled NOT gate（CNOT），这个门会根据第一个 qubit 的取值而决定是否往第二个 qubit 上作用 NOT 门，即第一个 qubit 为 0 时不作用，为 1 时作用。

\[ \begin{align*} &CX\ket{00}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]=\ket{00} \\ &CX\ket{01}=\ket{01} \quad CX\ket{10}=\ket{11} \quad CX\ket{11}=\ket{10} \quad \end{align*} \]

No-cloning Theorem

没有在 $H\otimes H$ 上的酉算子 $U$，能对 $H$ 中的归一化状态 $\ket{\psi}_A$ 和状态 $\ket{e}_B$ 有如下的操作

\[ U(\ket{\psi}_A\ket{e}_B)=e^{i\alpha(\psi,e)}\ket{\psi}_A\ket{\psi}_B \]

Proof：

假设存在这样的 $U$，那么有

\[ \begin{align*} U\ket{\psi}_A\ket{e}_B=\ket{\psi}_A\ket{\psi}_B \\ U\ket{\phi}_A\ket{e}_B=\ket{\phi}_A\ket{\phi}_B \end{align*} \]

将两式相点乘，可以得到

\[ \begin{align*} \text{left}=\bra{e}_B\bra{\psi}_AU^{\dagger} U\ket{\psi}_A\ket{e}_B=(\braket{\psi|\psi})_A(\braket{e|e})_B=\braket{\psi|\psi} \\ \text{right}=\bra{\psi}_B\bra{\psi}_A\ket{\phi}_A\ket{\phi}_B=(\braket{\psi|\phi})_A(\braket{\psi|\phi})_B=|\braket{\psi|\phi}|^2 \end{align*} \]

因此有

\[ \braket{\psi|\psi}=|\braket{\psi|\phi}|^2 \implies \braket{\psi|\psi}=0\text{ or }1 \]

所以除了互相正交的基底，我们不可能仅通过当前的状态情况复制该状态。

注意：这不意味着我们不可以复制量子状态，而是说不可能有人能窃听到量子通信中的信息。

Measurement

薛定谔的猫（Schrödinger's cat），只有当测量的时候才能知道真实的情况。

对 qubit 的测量会导致其以一定概率坍缩到确定的状态（$\ket{0}$ 或 $\ket{1}$），但要获得最终结果，必须要测量 qubit

Example：

测量如下的 qubit，将会得到什么预期结果呢？

\[ H\ket{1}=\frac{\ket{0}-\ket{1}}{\sqrt{2}} \]

预期情况下，会有 50% 的概率测量得到 $\ket{0}$，会有 50% 的概率测量得到 $\ket{1}$

一般来说，对 qubit $\ket{\psi}=\alpha\ket{0}+\beta\ket{1}$，会有 $|\alpha|^2$ 的概率测量得到 $\ket{0}$，会有 $|\beta|^2$ 的概率测量得到 $\ket{1}$。而对归一化的 qubit 来说，$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$

Reversibility in Quantum Computing

函数是可逆的（reversible）当且仅当它是双射的（bijective）。

经典计算机中的逻辑门不一定是可逆的，如 NOT 门、AND 门，将它们作用于 bit 之后，会丢失一些信息。

但我们可以通过添加一些辅助 bit 将逻辑门转化成可逆的。

假设 $f:i\to f(i)$ 有 $n$ 个输入和 $m$ 个输出，我们需要增加额外 $n$ 个输出和 $m$ 个输入，并将函数改为 $f_{rev}:i,j\to i,f(i)\oplus j$，其中 $\oplus$ 为 XOR

量子电路中的逻辑门必须是酉的（unitary），而逻辑门 $U$ 的逆是唯一的，即 $U^{\dagger}$

Example：

Hadamard 门的逆

\[ \begin{align*} H\ket{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right]=\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}} \\ H^{\dagger}\frac{\ket{0}+\ket{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]=\ket{0} \end{align*} \]

要将经典电路中的逻辑门改成量子电路中的逻辑门，可根据先前所说的增加一些辅助 qubit 即可。

量子 AND 门、量子 NAND 门